神奇的幻方来自远古的数字谜团

幻方，也称九宫格，宋代数学家杨辉称之为纵横图，是我国一种传统数字游戏。幻方是将从1到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。古时候幻方经常在官府、学堂等场所出见，后来通过印度、阿拉伯等地传到西方，因其奇幻的特性，被称为Magic Square，即"幻方"或"魔方"。

让我们从一首古诗开始幻方的探究吧：

四海三山八仙洞，九龙王子一枝莲。

二七六郎赏月半，周围十五月团圆。

这首古诗的背景为：相传大禹治水时，在黄河支流洛水中浮现出一只神龟，龟背上有一个很奇特的图案，古人认为是一种祥瑞，预示着抗洪救灾工作马上成功，此图被称为洛书，洛书中的小点点其实代表9个数……像这样每行、每列、每条对角线上的数的和都相等的方格表就叫做幻方，三行三列的幻方就叫三阶幻方，类似的四行四列的幻方就叫四阶幻方。

另一传说，上古伏羲氏时，有龙马从黄河里跳出来，背上负着河图；有神龟从洛水里跳出来，背上负有洛书。伏羲氏根据河图、洛书演化成八卦。洛书便是最早的幻方，用现代数学语言解释，就是用1~9九个数字，填在九个格子里，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15。

洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对中国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，于治国安邦上也具有积极的寓意。包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物。

最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为"天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇"。远古时代，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。大禹从洛书中数的相互制约，均衡统一得到启发而制定国家的法律体系，使得天下一统，归于大治，这就是"借鉴思维"的开端，这种活化思维的方式已成为现代科学灵感的来源之一。

作为洛书三阶幻方基础的九宫数字“二九四，七五三，六一八”，在公元80年出版的古书《大戴礼记》卷八《明堂篇》中有明显记载，这是中国人在数学上的伟大创造，它奠定了数学中一个重要分支——组合学的基础。

中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。从洛书发端的幻方在数千年后更加生机盎然，被称为具有永恒魅力的数学问题。十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究，并编制出三至十阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。洛书上的三阶幻方，杨辉将其生成法和最后布局归结为以下8句话：

关于幻方的基本填法有一句顺口溜：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”_。其实，除了5以外，经过旋转900、1800、2700和反射，可以得到七种变式填法，共计八种（见下图）。

杨辉称四阶幻方为“花十六图”或“四四图”，并给出阴、阳两种排列的方式。

这两个四阶幻方所应用的数字是一致的，只是在排列上有差异。但不管怎样排列，幻方常数没有变，始终是34.

欧洲十四世纪也开始了这方面的工作。著名数学家费尔玛、欧拉都进行过幻方研究，但直到1514年，德国著名画家杜勒才绘制出了完整的四阶幻方。直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符，也把它叫作【Magic Square】。1977年，四阶幻方还作为人类的特殊语言被美国旅行者1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类文明信息与美好祝愿。

《射雕英雄传》里面有一个情节，郭靖带着受伤的黄蓉四处求高人疗伤，遇见瑛姑。瑛姑也爱好各种奇门术数，但是花了好多年却解不出一个三阶幻方。这个三阶幻方也就是"洛书"，它有三行三列，九个空格分别填上一到九这九个数字，使得每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等。

黄蓉是黄老邪的女儿，古灵精怪，自然也精通此道，很快告诉了瑛姑答案。于是瑛姑就告诉郭靖黄蓉可以找段皇爷疗伤。当然瑛姑其实也是为了找段皇爷寻仇。这是后话。其实三阶的幻方太简单了。我倒觉得金庸可以可以把这一段情节改成瑛姑解的是一个五阶幻方，就是五行五列的幻方，甚至是七行七列的幻方，这样花十几年解不出也情有可原，难度大些，瑛姑也不至于显得那么笨。不知道金庸是不是为了衬托黄蓉的聪明？她的口诀是：九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

用数学语言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格里，既不重复又不遗漏地填上n个连续的自然数，每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的几个自然数的和都相等，这个和叫幻和，n叫幻方的阶，这样的数表叫n阶幻方。

幻方之美在于其内在的数学原理，在于其外在的完美形态，更在于它无穷无尽的变幻。每个幻方以整齐划一、均衡对称、和谐统一的特性，迸发出耀人的数学之美的光辉。如今，幻方仍然是组合数学的研究课题之一，经过一代代数学家与数学爱好者的共同努力，幻方与它的变体所蕴含的各种神奇的科学性质正逐步得到揭示。在种类上，更加可以细分为完全幻方、乘幻方、多阶幻方、高次幻方，以及反幻方等。

当前，幻方已在组合分析、实验设计、图论、数论、群、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用。可以说，来自远古的幻方，将带领人类走向更高智能的未来。

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